Ciri-ciri Habis Dibagi
Misalkan diminta untuk mengetahui apakah 165102 habis dibagi 1 atau tidak. Hal ini tentu saja dapat diketahui dengan melakukan pembagian 165102 : 7. Salah satu cara adalah melakukan pembagian panjang sebagai berikut :
14
25
21
41
35
60
56
42
42
0
Terlihat bahwa, cara demikian tidak praktis dan menghabiskan waktu. Berikut ini akan dikemukakan ciri-ciri suatu bilangan habis dibagi oleh suatu bilangan sehingga dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan semacam itu dengan cara yang lebih cepat.
Ciri Habis Dibagi 2
Suatu bilangan habis dibagi 2 jika dan hanya jika bilangan satuannya genap (dapat dibagi 2) .
Contoh :
Apakah 2|438?
438 dapat ditulis sebagai:
438 = 4 (10) + 3(10) + 8. Karena 2|(10)2 , dan 2|10 dan 2|8 maka oleh sifat (3) didapat 2|438.
Secara umum, sebarang bilangan bulat positif N dapat ditulis dalam bentuk N = ak (10)2 + ak-1 (10)k-1 + . . . + a2 (10)2 + a1 (10) + a0
Sekarang 2J10, 2|100, 2|1000, dan secara umum 2|(10)k untuk sebarang bilangan asli k; dengan demikian oleh sifat (c), jika
2|a maka
2|(ak(10)k + ak-1 (10)k-1 + ... + a2(10)2 + a1 (10) + a0 )
Ciri Habis Dibagi 3
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka pada lambang bilangan tersebut habis dibagi 3.
Karena (10)k - 1 + 1 = 10 k , maka bentuk umum bilangan asli N dapat ditulis sebagai
N = a (10k - 1+1) + ak-1 (10k-1 - 1 +1) + ... + a (102 - 1+1)+ a1(10 - 1 +1)+ a0
= a1 (10k - 1) + ak-1 (10 k-1 - 1) + ... a2 (102- 1) + a1 (10 - 1) + (ak + a + …. + a3 + a2 + a1 + a0)
Karena 3| (10 – 3), | (102 – 1), 3| (103 – 1) dan secaa umum 3| (10k – 1) , untuk k adalah sebarang bilangan asli, maka 3|N jika dan hanya jika 3| (ak + ak-1 + …. + a2 + a1 + a0)
Contoh : 3| 8682 karena 3| (8 + 6 + 8 + 2) atau 3|24.
Ciri Habis Dibagi 4
Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dan hanya jika dua angka terakhir dari lambang bilangan tersebut bilangan yang habis dibagi 4.
Jelas bahwa, untuk k ≥ 2 maka 4| 10k, 4|102 dan 10k = (10)k-2.102
Jadi, jika N = ak (10)k + ak-1 (10)k-1 + ... + a2 (10)2 + a(10) + a0 dan 4 pembagi a1 (10) + a, maka 4|N.
Contoh:
4|13216 karena 4|l6.
Ciri Habis Dibagi 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 jika hanya jika satuan d bilangan tersebut 0 atau 5.
Contoh:
5|675413525 demikian juga 5|754417890.
Ciri Habis dibagi 6
Suatu bilangan habis dibagi 6 jika dan hanya jika bilangan tersebut habis dibagi 2 dan 3.
Karena 6 hasil kali 2 dan 3, maka bilangan yang habis dibagi 2 haruslah memenuhi habis dibagi 2 dan 3
Contoh:
81438 habis dibagi 6 karena 8 (angka terakhir) habis dibagi 2 dan
8 + 1 + 4 + 3 + 8 = 24 habis dibagi 3.
Ciri Habis Dibagi 7
Suatu bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika selisih antara bilangan yang dinyatakan oleh lambang bilangan mula-mula kecuali angka terakhir dengan dua kali bilangan angka terakhir tersebut habis dibagi 7.
Contoh :
7|91, karena 9 - 2 (1) = 7
dan 7 habis dibagi 7
7|196, karena 19 - 2(6) = 7
dan 7 habis dibagi 7
Ciri Habis Dibagi 8
Suatu bilangan habis dibagi 8 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan oleh tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.
Contoh :
875432504 habis dibagi 8 karena 8 | 504
Perhatikan bahwa ciri habis dibagi 8 di atas hanya berguna untuk bilangan yang lambangnya terdiri tiga atau lebih dari tiga angka.
Ciri Habis Dibagi 9
Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka dari bilangan tersebut habis dibagi 9.
N = a (10k) - 1+1)+ak-1 (10k-1 - 1 +1)+... + a2(102) -1 +1)+ a1(10 - 1 +1)+ a0
= (ak + ak-1 + ….. + a2 + a1 + a0)
Jelaslah 9| (10-1), 9|(102-1), 9|(103-1). Secara umum 9|(10k-1) untuk k adalah sebarang bilangan asli. Dengan demikian 9|N jika dan hanya jika 9| (ak + a k-1 + … + a2 + a1 + a0)
Contoh: 9|18, karena 9| 1+8
9|113274, karena 1+1+3+2+7+4 atau 9|18
Ciri Habis Dibagi 10
Suatu bilangan habis dibagi 10 jika dan hanya jika satuan bilangan tersebut 0.
Contoh :
Jelas bahwa 10 | 768940
Ciri Habis dibagi 11
Suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi ganjil dikurangi jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi genap habis dibagi 11.
Ciri habis dibagi 11 di atas, dapat dibuktikan. Bagi yang berminat dapat mencobanya.
Contoh:
11|722084 karena 11|(7+2+8)-(2+0+4) atau 11|11
11|2837604 karena 11|(2+3+6+4)-(8+7+0) atau 11|0
Misalkan diminta untuk mengetahui apakah 165102 habis dibagi 1 atau tidak. Hal ini tentu saja dapat diketahui dengan melakukan pembagian 165102 : 7. Salah satu cara adalah melakukan pembagian panjang sebagai berikut :
14
25
21
41
35
60
56
42
42
0
Terlihat bahwa, cara demikian tidak praktis dan menghabiskan waktu. Berikut ini akan dikemukakan ciri-ciri suatu bilangan habis dibagi oleh suatu bilangan sehingga dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan semacam itu dengan cara yang lebih cepat.
Ciri Habis Dibagi 2
Suatu bilangan habis dibagi 2 jika dan hanya jika bilangan satuannya genap (dapat dibagi 2) .
Contoh :
Apakah 2|438?
438 dapat ditulis sebagai:
438 = 4 (10) + 3(10) + 8. Karena 2|(10)2 , dan 2|10 dan 2|8 maka oleh sifat (3) didapat 2|438.
Secara umum, sebarang bilangan bulat positif N dapat ditulis dalam bentuk N = ak (10)2 + ak-1 (10)k-1 + . . . + a2 (10)2 + a1 (10) + a0
Sekarang 2J10, 2|100, 2|1000, dan secara umum 2|(10)k untuk sebarang bilangan asli k; dengan demikian oleh sifat (c), jika
2|a maka
2|(ak(10)k + ak-1 (10)k-1 + ... + a2(10)2 + a1 (10) + a0 )
Ciri Habis Dibagi 3
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka pada lambang bilangan tersebut habis dibagi 3.
Karena (10)k - 1 + 1 = 10 k , maka bentuk umum bilangan asli N dapat ditulis sebagai
N = a (10k - 1+1) + ak-1 (10k-1 - 1 +1) + ... + a (102 - 1+1)+ a1(10 - 1 +1)+ a0
= a1 (10k - 1) + ak-1 (10 k-1 - 1) + ... a2 (102- 1) + a1 (10 - 1) + (ak + a + …. + a3 + a2 + a1 + a0)
Karena 3| (10 – 3), | (102 – 1), 3| (103 – 1) dan secaa umum 3| (10k – 1) , untuk k adalah sebarang bilangan asli, maka 3|N jika dan hanya jika 3| (ak + ak-1 + …. + a2 + a1 + a0)
Contoh : 3| 8682 karena 3| (8 + 6 + 8 + 2) atau 3|24.
Ciri Habis Dibagi 4
Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dan hanya jika dua angka terakhir dari lambang bilangan tersebut bilangan yang habis dibagi 4.
Jelas bahwa, untuk k ≥ 2 maka 4| 10k, 4|102 dan 10k = (10)k-2.102
Jadi, jika N = ak (10)k + ak-1 (10)k-1 + ... + a2 (10)2 + a(10) + a0 dan 4 pembagi a1 (10) + a, maka 4|N.
Contoh:
4|13216 karena 4|l6.
Ciri Habis Dibagi 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 jika hanya jika satuan d bilangan tersebut 0 atau 5.
Contoh:
5|675413525 demikian juga 5|754417890.
Ciri Habis dibagi 6
Suatu bilangan habis dibagi 6 jika dan hanya jika bilangan tersebut habis dibagi 2 dan 3.
Karena 6 hasil kali 2 dan 3, maka bilangan yang habis dibagi 2 haruslah memenuhi habis dibagi 2 dan 3
Contoh:
81438 habis dibagi 6 karena 8 (angka terakhir) habis dibagi 2 dan
8 + 1 + 4 + 3 + 8 = 24 habis dibagi 3.
Ciri Habis Dibagi 7
Suatu bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika selisih antara bilangan yang dinyatakan oleh lambang bilangan mula-mula kecuali angka terakhir dengan dua kali bilangan angka terakhir tersebut habis dibagi 7.
Contoh :
7|91, karena 9 - 2 (1) = 7
dan 7 habis dibagi 7
7|196, karena 19 - 2(6) = 7
dan 7 habis dibagi 7
Ciri Habis Dibagi 8
Suatu bilangan habis dibagi 8 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan oleh tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.
Contoh :
875432504 habis dibagi 8 karena 8 | 504
Perhatikan bahwa ciri habis dibagi 8 di atas hanya berguna untuk bilangan yang lambangnya terdiri tiga atau lebih dari tiga angka.
Ciri Habis Dibagi 9
Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka dari bilangan tersebut habis dibagi 9.
N = a (10k) - 1+1)+ak-1 (10k-1 - 1 +1)+... + a2(102) -1 +1)+ a1(10 - 1 +1)+ a0
= (ak + ak-1 + ….. + a2 + a1 + a0)
Jelaslah 9| (10-1), 9|(102-1), 9|(103-1). Secara umum 9|(10k-1) untuk k adalah sebarang bilangan asli. Dengan demikian 9|N jika dan hanya jika 9| (ak + a k-1 + … + a2 + a1 + a0)
Contoh: 9|18, karena 9| 1+8
9|113274, karena 1+1+3+2+7+4 atau 9|18
Ciri Habis Dibagi 10
Suatu bilangan habis dibagi 10 jika dan hanya jika satuan bilangan tersebut 0.
Contoh :
Jelas bahwa 10 | 768940
Ciri Habis dibagi 11
Suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi ganjil dikurangi jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi genap habis dibagi 11.
Ciri habis dibagi 11 di atas, dapat dibuktikan. Bagi yang berminat dapat mencobanya.
Contoh:
11|722084 karena 11|(7+2+8)-(2+0+4) atau 11|11
11|2837604 karena 11|(2+3+6+4)-(8+7+0) atau 11|0
